إنشاء مصفوفة معكوسة على الإنترنت خوارزمية لحساب المصفوفة العكسية

وشبهه بالعكس في كثير من الخصائص.

يوتيوب الموسوعي

1 / 5

✪ المصفوفة العكسية (طريقتان للعثور عليها)

✪ كيفية العثور على معكوس المصفوفة - bezbotvy

✪ المصفوفة العكسية رقم 1

✪ حل نظام المعادلات باستخدام طريقة المصفوفة العكسية - bezbotvy

✪ المصفوفة العكسية

ترجمات

خصائص المصفوفة العكسية

ديت أ − 1 = 1 ديت أ (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A)))، أين ديت (\displaystyle \\det )يدل على المحدد.
(أ ب) − 1 = ب − 1 أ − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))لمصفوفتين مربعتين قابلتين للعكس أ (\displaystyle A)و ب (\displaystyle B).
(أ T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T))، أين (. . .) ت (\displaystyle (...)^(T))يدل على مصفوفة منقولة.
(ك ا) − 1 = ك − 1 ا − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))لأي معامل ك ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
إذا كان من الضروري حل نظام من المعادلات الخطية، (b هو متجه غير صفري) حيث س (\displaystyle x)هو المتجه المطلوب، وإذا ا − 1 (\displaystyle A^(-1))موجود إذن س = أ − 1 ب (\displaystyle x=A^(-1)b). وإلا فإما أن يكون بُعد فضاء الحل أكبر من الصفر، أو لا توجد حلول على الإطلاق.

طرق العثور على المصفوفة العكسية

إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، للعثور على المصفوفة العكسية يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية:

الطرق الدقيقة (المباشرة).

طريقة غاوس-جوردان

لنأخذ مصفوفتين: أواحد ه. دعونا نقدم المصفوفة أإلى مصفوفة الهوية باستخدام طريقة Gauss-Jordan، مع تطبيق التحويلات على طول الصفوف (يمكنك أيضًا تطبيق التحويلات على طول الأعمدة، ولكن ليس مختلطًا). بعد تطبيق كل عملية على المصفوفة الأولى، قم بتطبيق نفس العملية على الثانية. عند اكتمال اختزال المصفوفة الأولى إلى شكل وحدة، ستكون المصفوفة الثانية مساوية لـ أ−1.

عند استخدام الطريقة الغوسية، سيتم ضرب المصفوفة الأولى على اليسار بإحدى المصفوفات الأولية Λ أنا (\displaystyle \Lambda _(i))(مصفوفة التحويل أو المصفوفة القطرية مع وحدات على القطر الرئيسي، باستثناء موضع واحد):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \السهم الأيمن \لامدا =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − أ 1 م / أ م م 0 … 0 … 0 … 1 − أ م − 1 م / أ م م 0 … 0 0 … 0 1 / أ م م 0 … 0 0 … 0 − أ م + 1 م / أ م م 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

المصفوفة الثانية بعد تطبيق جميع العمليات ستكون مساوية ل Λ (\displaystyle \Lambda)أي أنه سيكون المطلوب. تعقيد الخوارزمية - يا (ن 3) (\displaystyle O(n^(3))).

باستخدام المصفوفة التكميلية الجبرية

مصفوفة معكوسة للمصفوفة أ (\displaystyle A)، يمكن تمثيلها في النموذج

A − 1 = صفة (A) ديت (A) (\displaystyle (A)^(-1)=((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

أين صفة (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- مصفوفة مجاورة؛

يعتمد تعقيد الخوارزمية على مدى تعقيد الخوارزمية لحساب المحدد O det ويساوي O(n²)·O det.

باستخدام التحلل LU/LUP

معادلة المصفوفة أ X = أنا ن (\displaystyle AX=I_(n))للمصفوفة العكسية إكس (\displaystyle X)يمكن اعتبارها مجموعة ن (\displaystyle n)أنظمة النموذج أ س = ب (\displaystyle Ax=b). دعونا نشير أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة إكس (\displaystyle X)خلال X أنا (\displaystyle X_(i)); ثم A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n)،بسبب ال أنا (\displaystyle i)العمود العاشر من المصفوفة أنا ن (\displaystyle I_(n))هو ناقل الوحدة ه ط (\displaystyle e_(i)). بمعنى آخر، فإن إيجاد المصفوفة العكسية يتلخص في حل المعادلات n التي لها نفس المصفوفة وأطرافها اليمنى المختلفة. بعد إجراء تحليل LUP (O(n³) الوقت)، يستغرق حل كل من المعادلات n وقتًا O(n²)، لذا فإن هذا الجزء من العمل يتطلب أيضًا وقتًا O(n³).

إذا كانت المصفوفة A غير مفردة، فيمكن حساب تحليل LUP لها P A = L U (\displaystyle PA=LU). يترك ف أ = ب (\displaystyle PA=B), ب − 1 = د (\displaystyle B^(-1)=D). ثم من خصائص المصفوفة العكسية يمكننا أن نكتب: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). إذا قمت بضرب هذه المساواة في U وL، فيمكنك الحصول على تساويين في النموذج U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))و D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). أول هذه المعادلات هو نظام المعادلات الخطية n² لـ n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))ومنه يعرف الطرف الأيمن (من خواص المصفوفات المثلثية). ويمثل الثاني أيضًا نظامًا من المعادلات الخطية n² لـ n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))ومنه يُعرف الجانب الأيمن (أيضًا من خصائص المصفوفات المثلثية). يمثلون معًا نظام المساواة n². باستخدام هذه المساواة، يمكننا تحديد جميع عناصر n² في المصفوفة D بشكل متكرر. ثم من المساواة (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. نحصل على المساواة ا − 1 = د ف (\displaystyle A^(-1)=DP).

في حالة استخدام تحليل LU، لا يلزم إجراء تبديل لأعمدة المصفوفة D، ولكن الحل قد يتباعد حتى لو كانت المصفوفة A غير مفردة.

تعقيد الخوارزمية هو O(n³).

الأساليب التكرارية

أساليب شولتز

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(الحالات)))

تقدير الخطأ

اختيار التقريب الأولي

إن مشكلة اختيار التقريب الأولي في عمليات انعكاس المصفوفة التكرارية التي تم النظر فيها هنا لا تسمح لنا بمعاملتها كطرق عالمية مستقلة تتنافس مع طرق الانعكاس المباشر المستندة، على سبيل المثال، على تحلل المصفوفات LU. هناك بعض التوصيات للاختيار يو 0 (\displaystyle U_(0))، ضمان استيفاء الشرط ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (نصف القطر الطيفي للمصفوفة أقل من الوحدة)، وهو أمر ضروري وكافي لتقارب العملية. ومع ذلك، في هذه الحالة، أولا، مطلوب معرفة من فوق التقدير لطيف المصفوفة القابلة للانعكاس A أو المصفوفة أ أ ت (\displaystyle AA^(T))(أي إذا كانت A عبارة عن مصفوفة محددة إيجابية متماثلة و ρ (A) ≥ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta )، ثم يمكنك أن تأخذ U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E)، أين ؛ إذا كانت A عبارة عن مصفوفة تعسفية غير مفردة و ρ (A A T) ≥ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta )، ثم يؤمنون U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T))، حيث أيضا α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); يمكنك بالطبع تبسيط الموقف والاستفادة من حقيقة ذلك ρ (A A T) ≥ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k)))، يضع U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). ثانياً، عند تحديد المصفوفة الأولية بهذه الطريقة، ليس هناك ما يضمن ذلك ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ستكون صغيرة (وربما ستكون كذلك ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1))، ولن يتم الكشف عن الترتيب العالي لمعدل التقارب على الفور.

أمثلة

مصفوفة 2x2

غير قادر على تحليل التعبير (خطأ في بناء الجملة): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ فارك (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ تبدأ (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

لا يمكن عكس مصفوفة 2x2 إلا بشرط ذلك أ د − ب ج = ديت A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

للعثور على المصفوفة العكسية عبر الإنترنت، ستحتاج إلى الإشارة إلى حجم المصفوفة نفسها. للقيام بذلك، انقر على أيقونة "+" أو "-" حتى تكون راضيًا عن عدد الأعمدة والصفوف. بعد ذلك، أدخل العناصر المطلوبة في الحقول. يوجد أدناه زر "احسب" - بالنقر فوقه، ستتلقى إجابة على الشاشة مع حل مفصل.

في الجبر الخطي، في كثير من الأحيان يتعين على المرء أن يتعامل مع عملية حساب المصفوفة العكسية. إنه موجود فقط للمصفوفات غير المعبرة والمصفوفات المربعة بشرط أن يكون المحدد غير صفر. من حيث المبدأ، حسابها ليس صعبا بشكل خاص، خاصة إذا كنت تتعامل مع مصفوفة صغيرة. ولكن إذا كنت بحاجة إلى حسابات أكثر تعقيدًا أو مراجعة شاملة لقرارك، فمن الأفضل استخدام هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. بمساعدتها، يمكنك حل المصفوفة العكسية بسرعة وبدقة.

باستخدام هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، يمكنك إجراء العمليات الحسابية الخاصة بك بشكل أسهل بكثير. بالإضافة إلى ذلك، فإنه يساعد على توحيد المواد التي تم الحصول عليها من الناحية النظرية - وهو نوع من محاكاة الدماغ. ولا ينبغي اعتباره بديلاً للحسابات اليدوية؛ فهو يمكن أن يوفر لك المزيد، مما يسهل عليك فهم الخوارزمية نفسها. علاوة على ذلك، لا يضر أبدًا التحقق من نفسك مرة أخرى.

الأصلي وفقًا للصيغة: A^-1 = A*/detA، حيث A* هي المصفوفة المرتبطة، detA هي المصفوفة الأصلية. المصفوفة المجاورة هي مصفوفة منقولة من الإضافات إلى عناصر المصفوفة الأصلية.

أولًا، يجب أن يكون محدد المصفوفة مختلفًا عن الصفر، لأنه سيتم استخدام المحدد لاحقًا كمقسوم عليه. لنفترض، على سبيل المثال، مصفوفة للثالث (تتكون من ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة). كما ترون، محدد المصفوفة لا يساوي الصفر، لذلك هناك مصفوفة معكوسة.

أوجد مكملات كل عنصر من عناصر المصفوفة A. تكملة A هي محدد المصفوفة الفرعية التي تم الحصول عليها من الأصل عن طريق حذف الصف i والعمود j، ويتم أخذ هذا المحدد بعلامة. يتم تحديد الإشارة بضرب المحدد بـ (-1) أس i+j. وبالتالي، على سبيل المثال، سيكون تكملة A هو المحدد الموضح في الشكل. أصبحت العلامة هكذا: (-1)^(2+1) = -1.

ونتيجة لذلك سوف تحصل مصفوفةالإضافات، الآن قم بتبديلها. التبديل هو عملية متناظرة حول القطر الرئيسي للمصفوفة؛ حيث يتم تبديل الأعمدة والصفوف. وبذلك تكون قد وجدت المصفوفة المجاورة A*.

1. أوجد محدد المصفوفة الأصلية. إذا كانت المصفوفة فردية ولا توجد مصفوفة معكوسة. إذا، إذن توجد مصفوفة غير منحلة ومعكوسة.

2. ابحث عن المصفوفة المنقولة إليها.

3. ابحث عن المكملات الجبرية للعناصر وقم بتكوين المصفوفة المجاورة منها.

4. نقوم بتكوين المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة.

5. نتحقق من صحة حساب المصفوفة العكسية بناء على تعريفها:.

مثال.أوجد معكوس المصفوفة: .

حل.

1) محدد المصفوفة

2) أوجد المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة وأنشئ المصفوفة المجاورة منها:

3) احسب المصفوفة العكسية:

4) التحقق:

№4رتبة المصفوفة. الاستقلال الخطي لصفوف المصفوفة

لحل ودراسة عدد من المسائل الرياضية والتطبيقية، فإن مفهوم رتبة المصفوفة مهم.

في مصفوفة الحجم، عن طريق حذف أي صفوف وأعمدة، يمكنك عزل المصفوفات الفرعية المربعة بالترتيب حيث. تسمى محددات هذه المصفوفات الفرعية القاصرين من ترتيب المصفوفة .

على سبيل المثال، من المصفوفات يمكنك الحصول على مصفوفات فرعية من الترتيب الأول والثاني والثالث.

تعريف.رتبة المصفوفة هي أعلى رتبة من الرتب الثانوية غير الصفرية لتلك المصفوفة. التسمية: أو.

ومن التعريف ما يلي:

1) ألا تزيد رتبة المصفوفة عن أصغر أبعادها أي .

2) إذا وفقط إذا كانت جميع عناصر المصفوفة تساوي الصفر، أي.

3) بالنسبة لمصفوفة مربعة من الرتبة n إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير مفردة.

نظرًا لأن التعداد المباشر لجميع العناصر الثانوية المحتملة للمصفوفة، بدءًا من الحجم الأكبر، أمر صعب (يستغرق وقتًا طويلاً)، فإنهم يستخدمون تحويلات المصفوفة الأولية التي تحافظ على رتبة المصفوفة.

تحويلات المصفوفة الأولية:

1) تجاهل الصف (العمود) الصفر.

2) ضرب جميع عناصر الصف (العمود) برقم.

3) تغيير ترتيب صفوف (أعمدة) المصفوفة.

4) إضافة إلى كل عنصر من عناصر صف (عمود) العناصر المقابلة لصف (عمود) آخر مضروبة في أي رقم.

5) تبديل المصفوفة.

تعريف.تسمى المصفوفة التي يتم الحصول عليها من مصفوفة باستخدام التحويلات الأولية مكافئة ويتم الإشارة إليها أ في.

نظرية.لا تتغير رتبة المصفوفة أثناء تحويلات المصفوفة الأولية.

باستخدام التحويلات الأولية، يمكنك تقليل المصفوفة إلى ما يسمى بنموذج الخطوة، عندما يكون حساب رتبتها أمرًا سهلاً.

تسمى المصفوفة بالمستوى إذا كانت على الشكل التالي:

من الواضح أن رتبة مصفوفة الخطوة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية، منذ ذلك الحين هناك أمر ثانوي لا يساوي الصفر:

مثال.تحديد رتبة المصفوفة باستخدام التحويلات الأولية.

رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية، أي .

№5الاستقلال الخطي لصفوف المصفوفة

نظرا لمصفوفة الحجم

دعونا نشير إلى صفوف المصفوفة على النحو التالي:

يتم استدعاء الخطين متساوي إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية. .

دعونا نقدم عمليات ضرب سلسلة برقم وإضافة سلاسل كعمليات يتم تنفيذها عنصرًا بعنصر:

تعريف.يسمى الصف مجموعة خطية من صفوف المصفوفة إذا كان يساوي مجموع منتجات هذه الصفوف بأرقام حقيقية عشوائية (أي أرقام):

تعريف.يتم استدعاء صفوف المصفوفة تعتمد خطيا ، إذا كانت هناك أرقام لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث تكون المجموعة الخطية من صفوف المصفوفة مساوية لصف الصفر:

أين . (1.1)

الاعتماد الخطي لصفوف المصفوفة يعني أن صفًا واحدًا على الأقل من المصفوفة عبارة عن مزيج خطي من الباقي.

تعريف.إذا كانت المجموعة الخطية من الصفوف (1.1) تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعاملات، فسيتم استدعاء الصفوف مستقل خطيا .

نظرية رتبة المصفوفة . رتبة المصفوفة تساوي الحد الأقصى لعدد صفوفها أو أعمدتها المستقلة خطيًا والتي يتم من خلالها التعبير خطيًا عن جميع الصفوف (الأعمدة) الأخرى.

تلعب النظرية دورا أساسيا في تحليل المصفوفات، وخاصة في دراسة أنظمة المعادلات الخطية.

№6حل نظام المعادلات الخطية مع المجهول

تستخدم أنظمة المعادلات الخطية على نطاق واسع في الاقتصاد.

نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرات له الشكل:

حيث () يتم استدعاء أرقام عشوائية معاملات المتغيرات و شروط المعادلات الحرة ، على التوالى.

دخول مختصر: ().

تعريف.حل النظام هو مجموعة من القيم بحيث تتحول كل معادلة في النظام عند الاستبدال إلى مساواة حقيقية.

1) يسمى نظام المعادلات مشترك ، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم يكن لها حلول.

2) يسمى نظام المعادلات المتزامن تأكيد ، إذا كان لديه حل فريد، و غير مؤكد ، إذا كان له أكثر من حل.

3) يتم استدعاء نظامين من المعادلات مقابل (مقابل ) ، إذا كان لديهم نفس مجموعة الحلول (على سبيل المثال، حل واحد).

يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n

تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كانت A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.

مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:

مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.

نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة

لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.

تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.

خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية

اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.

مثال 1

بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1

الحل: نكتب المصفوفة A ونخصص مصفوفة الهوية E إلى اليمين باستخدام تحويلات جوردان، نقوم بتبسيط المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. وترد الحسابات في الجدول 31.1.

دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.

ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.

إجابة:

حل المعادلات المصفوفية

يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:

الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،

حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.

يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.

على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.

لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.

يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.

مثال 2

حل المعادلة AX = B إذا

حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)

طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري إجراء تقييم مقارن لعمل المنظمات وأقسامها الهيكلية.

في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن تمييز عدة مراحل.

في المرحلة الأولىيتم تشكيل نظام للمؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة البيانات الأولية، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).

في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.

بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.

في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.

على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف ر ييتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.

وينبغي استخدام أساليب المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، في التحليل المقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية، وكذلك في تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى لأنشطة المنظمات.